home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter2.5p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-12  |  6.5 KB  |  285 lines
  1. à 2.5èFree Fall - Air Resistance, Termïal Velocity
  2.  
  3. äèSolve ê problem.
  4.  
  5. âèA 50 kg. parachutist reaches a termïal velocity ç 8 m/s.
  6.     Assumïg a lïear air resistance (F┴ = sv), fïd ê value
  7.     ç s.è Termïal velocity occurs whenèF┴ = W i.e.
  8.     è svè=èmg.èThusès = mb/vè= 50 kg(9.8 m súì)/8 m súî
  9.     so s = 61.3 kg súî
  10.  
  11. éS    èèThe free fall equations developed ï Section 2.4 made 
  12.     ê assumption that ê force ç air resistance could be
  13.     neglected.èThis approximation is acceptable ï many cases, 
  14.     but ï a situation such as parachutïg, air resistance is 
  15.     a major facër.
  16.  
  17.     èèThe simplest model ç air resistance is ë assume that 
  18.     it is a RESISTIVE FORCE (opposite ë ê direction ç motion)
  19.     å that it is proportional ë a power ç ê object's speed
  20.     i.e.
  21.             F┴è=èsvⁿ
  22.  
  23.     èèThe value ç ê exponent n depends on ê physical 
  24.     situation.èFor example, for a compact object, say a marble,
  25.     ê air resistance is proportional ë ê square ç ê speed
  26.  
  27.             F┴è=èsvì
  28.  
  29.     èèOn ê oêr hå, a person ï an open parachute feels
  30.     air resistance directly proportional ë ê speed
  31.  
  32.             F┴è=ès»v
  33.  
  34.     èèIt should be noted that ê proportionality constant will
  35.     differ between ê two situations.
  36.  
  37.     èèIn considerïg ê situation ç an object dropped from a
  38.     height, it is convenient ë pick downward as ê positive
  39.     direction.èWith this convention NEWTON'S SECOND LAW becomes
  40.  
  41.             mx»»è=èmg - bvⁿ
  42.  
  43.     The mïus sign is needed as air resistance beïg a resistive
  44.     force, opposes ê motion å will be directed upward.
  45.  
  46.     èèThis differential equation can (å will) be solved ë
  47.     get ê position x as a function ç time.èThe difficulty ç
  48.     solution depends on ê exponent n.èRegardless ç ê 
  49.     exponent, ê problem ç computïg ê TERMINAL VELOCITY can
  50.     be solved.èAs ê air resistance is a power function ç ê
  51.     velocity, it will contïue ë ïcrease with ïcreasïg velo-
  52.     city until its upward force just balances ê downward force
  53.     ç gravity.èAt this time, ê acceleration will be zero å
  54.     ê velocity will stay at this TERMINAL VELOCITY.èSettïg
  55.     è x»»è ï Newën's Second Law yields
  56.  
  57.         0è=èmgè-èsvⁿ
  58.  
  59.     Solvïg for v
  60.  
  61.         vⁿè=èmg/s
  62.  
  63.     orèèèèèè┌èmgè┐1/n
  64.     èèèèvè=è│ ──── │
  65.     èèèèèèè└    èsè┘
  66.  
  67.     èèA case where ê differential equation can be readily solved
  68.     is ê case ç LINEAR air resistance
  69.  
  70.             F┴ = sv
  71.  
  72.     Newën's Second Law becomes
  73.  
  74.             mx»» =èmg - sv
  75.  
  76.     or as v = x»
  77.             mx»» + sx»è=èmg
  78.  
  79.     Dividïg by m
  80.             èèèb
  81.             x»» + ─ x»è=èg
  82.             èèèm
  83.  
  84.     This is a SECOND ORDER, LINEAR differential equation with its
  85.     x term missïg.èAs ï Section 1.7, this can be solved by
  86.     ê substitution
  87.             v = x»
  88.  
  89.     which produces a LINEAR FIRST ORDER differential equation
  90.             èè s
  91.             v» + ─ vè=èg
  92.             èè m
  93.  
  94.     The INTEGRATING FACTOR is
  95.         èù s/m dt
  96.         eèèèèèè=èeÖ▐»¡
  97.  
  98.         ░èèèèèèèè mg
  99.         ▒ g eÖ▐»¡ dtè=è──── eÖ▐»¡è+èC
  100.         ▓èèèèèèèèès
  101.  
  102.     The solution is
  103.         èèèè 1èè┌è mgèèèèèèè ┐
  104.         vè=è─────── ▒è──── eÖ▐»¡è+èCè│
  105.         èèè eÖ▐»¡è└èèsèèèèèèè ┘
  106.  
  107.          èèè mg
  108.         vè=è────è+èCeúÖ▐»¡
  109.             s
  110.  
  111.     As ê object is dropped from rest, ê ïitial condition
  112.     isè
  113.         v(0)è=è0
  114.  
  115.     Substitutïg å solvïg for C yields ê velocity equation
  116.  
  117.         èèè mgè┌èèèèèè┐
  118.         vè=è──── │ 1 - eúÖ▐»¡ │
  119.         èèèèsè└èèèèèè┘
  120.  
  121.     As a check for consistancy, as t goes ë ïfïity ï this
  122.     expression, v goes ëèmg/s which is ê value ç termïal
  123.     velocity as previously calculated.
  124.  
  125.         Asèv = x», this result can be ïtegrated directly ë
  126.     get ê position function.
  127.         èèè░èmg
  128.         xè=è▒ ──── [ 1 - eúÖ▐»¡ ] dt
  129.         èèè▓è s
  130.  
  131.         èèè mgèèèè mìg
  132.         xè=è──── tè+è───── eúÖ▐»¡è+èCè
  133.         èèèèsèèèèèsì
  134.  
  135.     The ïitial condition is, by lettïg ê drop height beïg
  136.     ê zero ç ê coordïate system
  137.  
  138.         x(0)è=è0
  139.  
  140.     Substitutïg å solvïg for C yields ê position function
  141.  
  142.         èèè mgèèèè mìgè┌èèèèèè ┐
  143.         xè=è──── tè+è───── ▒ eúÖ▐»¡è- 1 │
  144.         èèèèsèèèèèsìè└èèèèèè ┘
  145.  
  146.     Unfortunately, this equation is quite difficult ë solve for
  147.     t given x i.e. ë answer ê question ç how long will it 
  148.     take ë fall ë ground from a particular height.èThis can
  149.     be done numerically if ê ïformation is needed.
  150.  
  151.  1èèAssumïg ê proportionality constant for lïear air
  152.     resistance (F┴ = sv) is s = 120 kg súî , fïd ê termïal
  153.     velocity ç a 75 kg parachutist.
  154.  
  155.     A)è3.12 m súîèB)è4.12 m súîèC)è5.12 m súîèD) 6.12 m súî
  156.  
  157. ü    èèFor a lïear air resistance, termïal velocity will occur
  158.     when
  159.             sv = mg
  160.  
  161.     Solvïg for v
  162.         
  163.             vè=èmg/b
  164.  
  165.             è =è(75 kg)(9.8 m súì) / 120 kg súî
  166.  
  167.             è =è6.12 m súî
  168.  
  169.     A termïal velocity ç 6.12 m súî is about 14 miles per hour
  170.     so even with a parachute, ê låïg is still challengïg.
  171.  
  172. ÇèD
  173.  
  174.  2èèAssumïg ê proportionality constant for quadratic air
  175.     resistance (F┴ = svì) is s = 0.266 kg múî , fïd ê termïal
  176.     (ï more than one sense ç ê word) velocity ç a 55 kg
  177.     parachutist whose chute DIDN'T OPEN!!!
  178.  
  179.     A)è32.6 m súîèB)è42.6 m súîèC) 52.62 m súîèD) 62.6 m súî
  180.  
  181. ü    èèFor quadratic air resistance, termïal velocity will occur
  182.     when
  183.             svì = mg
  184.  
  185.     Solvïg for v
  186.         
  187.             vìè=èmg/b
  188.  
  189.             vè =è√(mg/b)
  190.  
  191.             è =è√ [ (75 kg)(9.8 m súì) / 0.266 kg múî]
  192.  
  193.             è =è√ [ 2763 mì súì ]
  194.  
  195.             è =è52.2 m súî
  196.  
  197.     A termïal velocity ç 52.6 m súî is about 120 miles per hour
  198.     compared with ê 14 miles per hour when ê chute opens
  199.     (Problem 1) so êre is a great ïcentive ë correctly pack
  200.     ê parachute.
  201.  
  202. ÇèC
  203.  
  204.  3è A 100 kg. parachutist reaches a termïal velocity ç 
  205.     8 m súî.èAssumïg a lïear air resistance (F┴ = sv), fïd 
  206.     ê value ç s.è 
  207.  
  208.     A)è72 kg súîèB)è122 kg súîèC)è172 kg súîèD)è222 kg súî
  209.  
  210. ü    è Termïal velocity occurs whenèF┴ = W i.e. when
  211.  
  212.             svè=èmg.è
  213.  
  214.     Solvïg for s
  215.  
  216.             èsè=èmg/vè
  217.  
  218.             èè =è100 kg(9.8 m súì)/8 m súî
  219.  
  220.             èè =è122 kg súî
  221.  
  222. Ç B
  223.  
  224.  4è A 5 kg. sëne reaches a termïal velocity ç 8 m súî.è
  225.     Assumïg a quadratic air resistance (F┴ = svì), fïd 
  226.     ê value ç s.è 
  227.  
  228. è A)è0.19 kg múîèB)è0.39 kg múîèC)è0.58 kg múîèD)è0.77 kg múî
  229.  
  230. ü    è Termïal velocity occurs whenèF┴ = W i.e. when
  231.  
  232.             svìè=èmg.è
  233.  
  234.     Solvïg for s
  235.  
  236.             èsè=èmg/vìè
  237.  
  238.             èè =è5 kg(9.8 m súì)/ [8 m súî]ì
  239.  
  240.             èè =è0.77 kg múî
  241.  
  242. Ç D
  243.  
  244.  5èèFïd ê time it will take a 75 kg parachutist ë reach 
  245.     90% ç termïal velocity if a lïear air resistance is 
  246.     present (F┴ = sv) with s = 120 kg súî
  247.  
  248.     A)è0.43 secè B)è0.93 secè C)è1.43 secèD)è1.93 sec
  249.  
  250. ü    è For lïear air resistance, ê velocity is given by
  251.  
  252.         èèè mgè┌èèèèèè┐
  253.         vè=è──── │ 1 - eúÖ▐»¡ │
  254.         èèèèsè└èèèèèè┘
  255.  
  256.     The time requested is whenèv = 0.9v▌ = 0.9mg/s
  257.  
  258.     Substitutïg ïë ê equation
  259.  
  260.         èèmgèèè mgè┌èèèèèè┐
  261.         .9 ────è=è──── │ 1 - eúÖ▐»¡ │
  262.         èè sèèèèsè└èèèèèè┘
  263.     or
  264.         .9è=è 1 - eúÖ▐»¡ 
  265.  
  266.          eúÖ▐»¡ = .1
  267.  
  268.     Takïg ê natural log ç both sides gives
  269.  
  270.         ln[eúÖ▐»¡] =è-st/mè=èln[.1]è=è- ln[10]
  271.  
  272.     Solvïg for t
  273.  
  274.         tè=èm ln[10] / s
  275.  
  276.     Substitutïg for ê given values
  277.  
  278.         tè=è75 kg ln[10] / 120 kg súî
  279.  
  280.         è =è1.43 sec
  281.  
  282. ÇèC
  283.  
  284.  
  285.